OS TEOREMAS DE PAPUS E GOLDIN
São assim denominados porque foram originalmente descobertos pelo matemático grego Pappus de Alexandria e mais tarde redescobertos na Europa por Paul Guldin.
O Livro VII da coleção contém o primeiro enunciado conhecido da propriedade foco-diretriz das três secções cônicas. Parece que Apolônio conhecia as propriedades focais para as cônicas centrais, mas é possível que a propriedade foco-diretriz para a parábola não fosse conhecida antes de Papus. Outro teorema no livro VII que aparece pela primeira vez é um que em geral tem o nome de Paul Goldin, matemático do século XVII: Se uma curva plana fechada gira em torno de uma reta que não a corta o volume do sólido gerado é obtido tomando o produto da área limitada pela distância percorrida durante a revolução pelo centro de gravidade da área. Papus justificadamente se orgulhava desse teorema muito geral, pois inclui “um grande número de teoremas de todos os tipos sobre curvas, superfícies e sólidos, todos provados simultaneamente com uma demonstração”. A uma possibilidade que o teorema de Goldin represente uma interpolação no manuscrito da coleção. É de fato o teorema mais geral envolvendo cálculo que se encontra na antiguidade. Papus deu também o teorema análogo que diz que a área da superfície gerada pela revolução de uma curva em torno de uma reta que não a corta é igual ao produto do comprimento da curva pela distância percorrida pelo centroide da curva durante a revolução.
Teorema 1: a área S de uma superfície de revolução é dada por S = s.d. Onde é s o comprimento da curva geratriz e d é a distância percorrida pelo centróide dessa curva em uma rotação completa.
Teorema 2: o volume V de um sólido de revolução é dado por V = S.d. Onde S é a área da superfície geratriz e d é a distância percorrida pelo centróide dessa área em uma rotação completa.
Fig. 1: Desenho de um Sólido Geométrico de Revolução
Fonte: https://www.acheiox.com.br/teorema-de-pappus-guldin/
Na ilustração o toróide é gerado pela revolução de uma circunferência de raio r. Portanto, o comprimento da curva é 2.pi.r . O centróide (que é o centro dessa circunferência) percorre uma distância 2.pi.R para a geração. Aplicando então o Teorema 1.
S = 2.pi.r.2.pi.R = 4.pi².r.R
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